一，
上一篇文章《ChatGPT的数学水平到底如何？？》已经测试了ChatGPT3.0的数学水平，今天我们来测试ChatGPT4.0的数学水平，看看从3.0到4.0，ChatGPT的进步有多大。
在数学这个庞大的领域中，最能挑战人类心智水平的无疑就是数学证明。
所以，我们今天专门测试一下ChatGPT4.0的数学证明水平。我目前还接触不到GPT，所以我事先将问题写好，委托数感星球的靳博士转问GPT4.0，所以这次的测试要十分感谢他提供的帮助。
二，
为了更细致地测试GPT的数学证明水平，我决定设计7道关于素数无限性的证明关卡，按照从易到难的顺序排列。
首先要简单介绍一下素数的概念。素数是指大于1，且不能分解成两个更小的正整数乘积的正整数。例如：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 和 31 都是素数。但是 4，6，8，15，21和 24就不是素数，因为，4=2×2；6=2×3；8=2×4；15=3×5；21=3×7；24=3×8。
好了。我们的第一个关卡是
第1关，证明存在无限多个素数！
这大概是数学中最有名的证明的，用的是反证法，证明过程很简单，甚至连不少数学爱好者都会证明。所以我想这个应该不会难到ChatGPT。
第2关，4n+3型素数是指被4除余数为3的素数，比如7，11，19，23。证明存在无限多个4n+3型素数！
这个证明和第一个证明的方法几乎是一样的，但需要一点点更灵活的运用，所以这个证明也会难一些。
第3关，4n+1型素数是指被4除余数为1的素数，比如5，13，17，29。证明存在无限多个4n+1型素数！
和第一个第二个证明一样，这第三个证明也是用反证法，构造矛盾的方式也有些类似，但是更复杂，需要用到二次剩余理论。所以这第三个证明的难度已经明显加大了。
第4关，令k是任意一个大于2的整数。证明存在无限多个kn+1型素数！
和前三个证明相比，这第四个证明的难度又明显加大了。因为这个结论比较一般，而且还要用到分圆多项式的构造及其性质。这个漂亮的证明最早出现在E. Wendt, 1895年发表在 J. Reine Angew. Math. 上的论文中，在华罗庚的《数论导引》中也有这个证明。
第5关，令k是任意一个大于2的整数。证明存在无限多个kn-1型素数！
这第五个证明和第四个证明难度大致相当，不过还是会难一些，因为涉及到了比分圆多项式更复杂的一类多项式的构造及其性质。这是第二个证明结论的推广。关于这第五个证明，可以参考T. Nagell的《Introduction to Number Theory》或者我本人发布在美国数学月刊的文章《Infinitely Many Primes in the Arithmetic Progression kn − 1》
第6关，令a和b是两个互素的正整数，证明在等差数列{an+b}中存在无限多个素数！
这就是大名鼎鼎的Dirichlet定理，这个定理的标准证明需要用到解析数论中的Dirichlet函数。Dirichlet定理是前面五个证明结论的推广，所以运用Dirichlet定理就可以直接推导出前五个结论。
第7关，n^2+1型素数是指能写成平方数加1的形式的素数，比如5=2^2+1，17=4^2+1，37=6^2+1都是n^2+1型素数。证明存在无限多个n^2+1型素数！
这是数论中一个非常困难的猜想，目前的人类数学水平根本无法撼动，如果ChatGPT能证明这个猜想，那整个数学界将被彻底颠覆。
三，、
GPT4能闯过第几关呢？？？
让我们拭目以待！！
第一关，顺利通过！
第二关，顺利通过！！
注意证明过程中有个小瑕疵：(4m+1)(4n+1)=4(mn+m+n)+1, 不过这不影响整个证明的正确性
第三关通关失败了！
在这里，GPT4试图照搬上面的证明，到后面都无法自圆其说了。
前面说过，这个证明是不能照搬前面的证明的，需要用到二次剩余理论，但GPT4的整个证明过程中都没提及剩余理论。
不过，比起GPT3，GPT4还是有明显进步，GPT3第二关通关就失败了，下面是GPT3 的错误证明，整个证明过程显得有些胡说八道：
四，
下面我们测试一下GPT在无理数证明上的表示。
上一篇文章中，我们发现ChatGPT3.0可以迅速正确地证明根号3 不是无理数，但是要求证明根号12不是无理数时，它就只会照搬先前的证明，闹了笑话：
我们来看ChatGPT4.0的表现：
这时，GPT4.0会懂得从两边推导提前3这个因子，由此来构造矛盾，这比起3.0是一个明显的进步，虽然证明过程中有个小笔误: “设a=2*2*3*k”
证明根号15不是无理数时，GPT也有同样出色的表现。当然了，证明过程中还是有点小瑕疵：由a必须是3和5的倍数，直接设出a=3*5*k。严格来讲，这里还需要简单运用一下算术基本定理。
其实整个证明过程只需要提前3这个因子就够了。
为了测试GPT4.0在这个方向上能走多远，我开始加大证明难度，要求它证明下面这个更一般的结论，这个更一般的结论大致有两种证明，第一种是经典的证明，运用算术基本定理，第二种证明是利用运算封闭性，可以参考我在B站的视频
结果GPT4给出了一个错误的证明，注意“不能表示成正整数的平方”和“不能表示成有理数的平方”，这原本是两码事，需要你证明这是一码事。
看来，这个证明已经超出了GPT4的水平了。
另外，请注意混淆“不能表示成正整数的平方”和“不能表示成有理数的平方”，这种错误也经常出现在人类的初学者身上。
五，
上一篇文章发表之后，不少读者认为GPT是在照抄其他地方搜索到的答案，根本没有思维能力。其实，这是典型的误解。因为这两篇文章中测试的证明题绝大部分都是非常经典的，如果GPT真想抄答案的话，以它的检索能力，它完全可以抄到正确的答案。
注意，从目前我发现的GPT的证明错误中看，它所犯的错误都是我们人类容易犯的错误，包括一些简单的计算错误，笔误。
另外，我注意到一个普遍的现象，面对相似的，但证明难度不一样的证明题，它会经常模仿甚至照搬证明而出错。其实，这中模仿甚至照搬的现象在数学证明的初学者中是非常非常普遍的。
从上一篇测试文章中，我发现面对简单的归纳法证明，比如自然数平方求和公式，素数分解存在性证明等，GPT都能轻松胜任，但是面对较复杂的归纳法证明，比如素数分解唯一性证明时，它的证明思路就显得很混乱，两相比较之下，我能明显感受到它的数学逻辑推理能力的不成熟和局限性，这和刚开始接触数学证明的人的表现也是非常类似。
总之，目前GPT的数学表现中已经隐约出现了不少人类的特征。
另外，GPT进步也是非常显著的，如果说GPT3.0的数学水平和人类高中生相当的话，那么从今天的测试来看，GPT4.0的数学水平已经差不多是人类大学生的水平了。
听闻GPT5.0已经处在内部测试阶段，我非常期待GPT5.0来我这里闯关。
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